Question

已知函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）在x=處取得極小值-．設(shè)f′（x）表示f（x）的導(dǎo)函數(shù)，定義數(shù)列{a_n}滿足：a_n=f′（）+2（n∈N^*））．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）對(duì)任意m，n∈N^*，若m≤n，證明：1+≤（1+）^m＜3；
（Ⅲ）（理科）試比較（1+）^m+1與（1+）^m+2的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），從而a=c=e=0，再利用f（x）在x=處取得極小值-，建立方程組，即可求得函數(shù)解析式，利用a_n=f′（）+2，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1+≤（1+）^m＜3等價(jià)于，利用二項(xiàng)展開式，及放縮法可得結(jié)論；
（Ⅲ）解：＞等價(jià)于（n+1）ln（1+）＞（n+1+1）ln（1+），構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x+1）ln（1+）（x≥1），則上式等價(jià)于證f*n）＞f（n+1）成立，求導(dǎo)函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：f′（x）=4ax³+3bx²+2cx+d，
∵函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），∴ax⁴-bx³+cx²-dx+e=-（ax⁴+bx³+cx²+dx+e），∴a=c=e=0
∴f（x）=bx³+dx，f′（x）=3bx²+d，
∵f（x）在x=處取得極小值-
∴，∴，∴
∴f（x）=，∴f′（x）=x²-2，
∴a_n=f′（）+2=n；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知1+≤（1+）^m＜3等價(jià)于．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122739404864039/SYS201310251227394048640026_DA/21.png">≥=1+（當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)）．
又m≤n，∴=+…+＜1+1++…+＜1+1++…+＜3
（Ⅲ）解：＞等價(jià)于（n+1）ln（1+）＞（n+1+1）ln（1+），
構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x+1）ln（1+）（x≥1），則上式等價(jià)于證f*n）＞f（n+1）成立，所以．
又令g（t）=ln（1+t）-t（t＞0），則g′（t）=-1＜0當(dāng)t＞0時(shí)成立，即得g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
于是g（t）＜g（0）=0成立，即ln（1+t）-t＜0，即ln（1+t）＜t（t＞0）成立，
故ln（1+）＜成立．
所以，由此知f（x）單調(diào)遞減，所以f（n）＞f（n+1），
所以＞，
所以（1+）^m+1＞（1+）^m+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查不等式的證明，考查放縮法的運(yùn)用，難度較大．