Question

【題目】對于函數，若在定義域內存在實數x，滿足，其中k為整數，則稱函數為定義域上的“k階局部奇函數”.

（1）已知函數，試判斷是否為上的“2階局部奇函數”？并說明理由；

（2）若是上的“1階局部奇函數”，求實數m的取值范圍；

（3）若，對任意的實數，函數恒為上的“k階局部奇函數”，求整數k取值的集合.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據題意，為上的“2階局部奇函數”等價于關于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；

（2）由“1階局部奇函數”的定義，列出方程，討論方程成立并有解時參數的取值范圍；

（3）根據“k階局部奇函數”的定義，轉化對任意的實數，函數恒為上的“k階局部奇函數”，為對任意的實數恒成立問題，討論二次項系數是否為零，不為零時討論恒成立，再令，求解，即可.

（1）為上的“2階局部奇函數”等價于關于x的方程在上有解，即：，

化簡得：，

解得：

所以是上的“2階局部奇函數”.

（2）由是上的“1階局部奇函數”，

且要滿足，所以.

因為是上的“1階局部奇函數”，等價于關于x的方程

在有解，即，化簡得：，

所以，

又，所以.

（3）因為恒為R上的“k階局部奇函數”等價于關于x的方程恒有解.

即，化簡得：，

當時，解得，所以滿足題意；

當時，，即：對任意的實數恒成立，

即對任意的實數恒成立，

令，是關于t的一次函數且為上的增函數

則，即：，解得：且

綜上，整數k取值的集合.