已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線l與橢圓C相切，試判斷橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之積是否為定值，若是求出此定值；否則，說明理由．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：
解答： 解：（Ⅰ）由題意知：e=
c
a
=
2
2
，∴e2=
1
2
，
∴a2=2b2，
又因?yàn)閳Ax2+y2=b2與直線x+y-
2
=0相切，
b2=1，a2=2，
故所求橢圓C方程為
x2
2
+y2=1，
（Ⅱ）由題意設(shè)直線l方程為：y=kx+t，
由
y=kx+t
x2
2
+y2=1
去y得，（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
∵直線l與橢圓C相切，∴△=0，
即（4tk）2-4（1+2k2）（2t2-2）=0，
化簡(jiǎn)得：t2=1+2k2，
設(shè)橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離分別為d1，d2，則
d1•d2=
|-k+t||k+t|
1+k2•
1+k2
=
|-k2+t2|
1+k2
=
|-k2+1+2k2|
1+k2
=1，
故橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之積是定值，定值為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求解，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AD=
3
，∠ADB=60°，AC=
3
AB，則BC=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=alnx-x+1在，x∈[e，e2]內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，e2）
B、（-∞，e）
C、（0，e2）
D、（0，e）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)D是不等式組
x+2y≤10
2x+y≥3
0≤x≤4
y≥1
表示的平面區(qū)域，則D中的點(diǎn)P（x，y）到直線x+y=10距離的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

二次函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）
（Ⅰ）若方程f（x）=0無實(shí)數(shù)根，求證：b＞0；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有兩實(shí)數(shù)根，且兩實(shí)根是相鄰的兩個(gè)整數(shù)，求證：f（-a）=
1
4
(a2-1)；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有兩個(gè)非整數(shù)實(shí)根，且這兩實(shí)數(shù)根在相鄰兩整數(shù)之間，試證明存在整數(shù)k，使得|f（k）|≤
1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平行四邊形ABCD中，M，N分別是CD，BC的中點(diǎn)，
AM
=(1，2) ， 
AN
=（3，1），則
AB
•
AM
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
m
=（
3
sin
x
4
，1），
n
=（cos
x
4
，cos2
x
4
），
（1）若
m
•
n
=1，求cos（
2π
3
-x）的值；
（2）記f（x）=
m
•
n
求使得f（x）取得最大值時(shí)，x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等比數(shù)列{an}中，a1=2，公比q=2．
（Ⅰ）設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn+2=2an；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是3，a1，a2，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1）且x∈[0，1]時(shí)f（x）=x，則函數(shù)g（x）=f（x）-log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有（　�。�
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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