Question

10．已知a，b∈R，若a²+b²-ab=1，則ab的取值范圍是[$-\frac{1}{3}$，1]．

Answer 1

分析 靈活應用基本不等式a²+b²≥2ab，即可求出ab的取值范圍．

解答 解：當ab＞0時，
∵a，b∈R，且a²+b²-ab=1，
∴a²+b²=ab+1，
又a²+b²≥2ab當且僅當a=b時“=”成立；
∴ab+1≥2ab，
∴ab≤1，當且僅當a=b=±1時“=”成立；
即0＜ab≤1；
當ab=0時，不妨設a=0，則b=±1，滿足題意；
當ab＜0時，
又∵a²+b²≥-2ab，
∴ab+1≥-2ab，
∴-3ab≤1，
∴ab≥-$\frac{1}{3}$，
當且僅當a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$、b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時“=”成立；
即0＞ab≥-$\frac{1}{3}$；
綜上，ab的取值范圍是[-$\frac{1}{3}$，1]．
故答案為[$-\frac{1}{3}$，1]．

點評 本題考查了基本不等式的應用問題，解題時應注意不等式成立的條件，屬于中檔題．