Question

20．已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，若三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2，則該幾何體的表面積為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 12+4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意和三視圖知：由兩種情況，
（1）該幾何體是棱長(zhǎng)為2正方體截去一個(gè)三棱錐所得的組合體，由正方體的性質(zhì)判斷出各個(gè)面的形狀，由直觀圖和三角形的面積公式求出該幾何體的表面積；
（2）該幾何體是邊長(zhǎng)為2的正方體被兩個(gè)平行平面所截后的幾何體，由正方體的性質(zhì)判斷出各個(gè)面的形狀，由直觀圖和三角形的面積公式求出該幾何體的表面積．

解答 解：由題意和三視圖知：由兩種情況，
（1）該幾何體是棱長(zhǎng)為2正方體截去一個(gè)三棱錐所得的組合體，
截面△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是2$\sqrt{2}$，
∴該幾何體的表面積S=$3×2×2+3×\frac{1}{2}×2×2+\frac{\sqrt{3}}{4}×{（2\sqrt{2}）}^{2}$
=18+2$\sqrt{3}$
由三個(gè)視圖均為邊長(zhǎng)為2的正方形，故正方體的棱長(zhǎng)為2
（2）幾何體是邊長(zhǎng)為2的正方體被兩個(gè)平行平面所截后的幾何體，
根據(jù)三視圖畫(huà)出直觀圖：
截面△ABC和△DEF是全等的等邊三角形，且邊長(zhǎng)是2$\sqrt{2}$，
由圖得，該幾何體表面有：
6個(gè)全等的等腰直角三角形、直角邊是2，截面△ABC和△DEF構(gòu)成，
∴該幾何體的表面積S=$6×\frac{1}{2}×2×2$+2×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{（2\sqrt{2}）}^{2}$=12+4$\sqrt{3}$
綜上可得，該幾何體的表面積為18+2$\sqrt{3}$或12$+4\sqrt{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由三視圖求幾何體的表面積，在三視圖與直觀圖轉(zhuǎn)化過(guò)程中，以一個(gè)正方體為載體是很好的方式，使得作圖更直觀，考查空間想象能力．