Question

7．已知直線l：y=kx+1與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于A，B兩點
（1）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（2）若O為坐標原點，S（k）表示△OAB的面積，若f（k）=[S（k）•（k²+1）]²，求f（k）的最大值．

Answer 1

分析 （1）欲求弦AB的中點M的軌跡方程，設點M（x，y），只須求出其坐標x，y的關系式即可，由題意知MN與MC所在直線垂直得到一個關系式，化簡即得點M的軌跡方程．
（2）先將y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得到一個關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求出4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，最后結合配方法求解函數(shù)f（k）的最大值即可．

解答 解：（1）直線l與y軸的交點為N（0，1），圓心C（2，3）．設M（x，y），
∵MN與MC所在直線垂直，
∴$\frac{y-1}{x}•\frac{y-3}{x-2}=-1$（x≠0且x≠2），
當x=0時不符合題意，當x=2時，y=3符合題意，
∴AB中點的軌跡方程為：x²+y²-2x-4y+3=0（$\frac{7-\sqrt{7}}{4}$＜x＜$\frac{7+\sqrt{7}}{4}$）；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵S_△OAB=S_△ONB-S_△ONA，且|ON|=1，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|x₂-x₁|．
將y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
∴4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=$\frac{32k-12-12{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}$
∴S²（k）=$\frac{32k-12-12{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）^{2}}$，
∴f（k）=[S（k）•（k²+1）]²=-3k²+8k-3，
∵△＞0得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
∴k=$\frac{4}{3}$時，f（k）的最大值為$\frac{7}{3}$．

點評 本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎知識，以及求最值的基本技能和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．