Question

已知橢圓E：（a＞b＞0）它的兩個焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），P為橢圓E上一點（點P在第三象限），且△F₁ F₂的周長等于20+10．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以點P為圓心的圓經(jīng)過橢圓E的左頂點M與點C（-2，0），直線MP交圓P于另一點N，試在橢圓E上找一點A，使得取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

解：（I）由題意可得，|F₁F₂|=10=2c，又|PF₁|+|PF₂|=2a
則有2a+2c=20+10
∴a=10
由b²=a²-c²=25
∴橢圓E的標準方程為
（II）由（I）可得M（-10，0），C（-2，0），設(shè)P（m，n），則有m=
又
∴n=-4即P（-6，-4）
∵P為MN的中點，可得N（-2，-8），設(shè)A（x，y）
∴
∴
=x²+12x+20+y²+8y
=（x+6）²+（y+4）²-32
當且僅當x=-6，y=-4時，即當A，P重合時，最小
（II）解法二：同（I）可求P（-6，-4），設(shè)A（x，y），
∵=
==
∴當A，P重合時，最小
分析：（I）由題意可得，|F₁F₂|=10=2c，又|PF₁|+|PF₂|=2a，結(jié)合2a+2c=20+10可求a，c，然后由b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓方程
（II）法一：由（I）可得M（-10，0），C（-2，0），設(shè)P（m，n），則由圓的性質(zhì)可得m=，結(jié)合P在橢圓上可求m，n，即可得P，由題意P為MN的中點，可得N設(shè)A（x，y），然后代入=（x+6）²+（y+4）²-32，可求
（II）解法二：同（I）可求P（-6，-4），設(shè)A（x，y），，代入==，可求最小值
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求出橢圓標準方程及向量的數(shù)量積的坐標表示是解題的關(guān)鍵．