Question

1．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|=3|$\overrightarrow$|，則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$$-\overrightarrow{a}$＞=（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由向量的平方即為模的平方，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，$\overrightarrow{a}$²=8$\overrightarrow$²，再由向量的夾角公式可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$$-\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$，代入化簡(jiǎn)即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|=3|$\overrightarrow$|，可得
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=9$\overrightarrow$²，
即有$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=9$\overrightarrow$²，
即為$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，$\overrightarrow{a}$²=8$\overrightarrow$²，
可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$²=-8$\overrightarrow$²，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$$-\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-8{\overrightarrow}^{2}}{2\sqrt{2}|\overrightarrow|•3|\overrightarrow|}$
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的夾角公式，考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)：斜率的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．