Question

已知x，y，z成等差數(shù)列，求證：x²（y+z），y²（x+z），z²（x+y）也成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由x，y，z成等差數(shù)列得到x+z=2y，然后證明y²（x+z）是x²（y+z），z²（x+y）的等差中項(xiàng)得答案．

解答： 證明：∵x，y，z成等差數(shù)列，
∴x+z=2y，
而x²（y+z）+z²（x+y）
=x²y+x²z+xz²+yz²
=y（x²+z²）+xz（x+z）
=y（x²+z²）+xz•2y
=y（x²+z²+2xz）
=y（x+z）²
=y•（2y）²
=2y²2y
=2•y²（x+z）．
∴x²（y+z），y²（x+z），z²（x+y）也成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查由等差中項(xiàng)的概念判斷數(shù)列為等差數(shù)列，是中檔題．