Question

以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=10，曲線C′的參數(shù)方程為

x=3+5cosα y=-4+5sinα

（α為參數(shù)）．
（I）判斷兩曲線的位置關(guān)系；
（Ⅱ）若直線l與曲線C和C′均相切，求直線l的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）直接利用關(guān)系式把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，再進(jìn)一步判斷曲線的位置關(guān)系．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論，利用建立方程組求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用點(diǎn)斜式求出切線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=10轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=100，
所以曲線C是以原點(diǎn)為圓心，10為半徑的圓．
曲線C′的參數(shù)方程為

x=3+5cosα y=-4+5sinα

（α為參數(shù)）轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：（x-3）²+（y+4）²=25．
所以曲線C′的方程表示以（3，-4）為圓心5為半徑的圓．
所以兩圓的圓心距等于半徑之差．
則兩圓相內(nèi)切．
（Ⅱ）由（Ⅰ）建立方程組：

x2+y2=100 (x-3)2+(y+4)2=25

，
解得：

x=6 y=-8

，
所以切點(diǎn)為：（6，-8），
且公切線的斜率為k=

3

4

，
則直線方程為：3x-4y-50=0，
轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為：3ρcosθ-4ρsinθ-50=0．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，兩圓位置關(guān)系的判定，利用點(diǎn)斜式求直線的方程．