Question

16．等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，已知a₃+a₆=16，S₉-S₄=65．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={2^{a_n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，a₃+a₆=16，S₉-S₄=65．可得2a₁+7d=16，又$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$-$\frac{4（{a}_{1}+{a}_{4}）}{2}$=65，化簡(jiǎn)即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃+a₆=16，S₉-S₄=65．
∴2a₁+7d=16，又$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$-$\frac{4（{a}_{1}+{a}_{4}）}{2}$=65，即9a₅-2a₁-2a₄=65，化為：a₁+6d=13，
解得a₁=1，d=2．∴a_n=2n-1．
（2）∵${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n-1}}$，
∴T_n=2+2³+…+2^2n-1=$\frac{2}{3}（{4^n}-1）=\frac{{{2^{2n+1}}}}{3}-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．