Question

已知函數(shù)f(x)=1-

4

2ax+a

(a＞0，a≠1)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值，判斷f（x）在R上的單調(diào)性并用定義證明；
（2）當(dāng)x∈（0，1）時，mf（x）＞2^x-2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可知f（0）=0，即可求出a，設(shè)x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁），化簡判斷符號，即可證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）將f（x）代入不等式化簡可得，（2^x）²-（m+1）2^x+m-2＜0對x∈（0，1）恒成立，然后利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)恒成立，列出不等式組，求解即可得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=1-

4

2ax+a

(a＞0，a≠1)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，可得a=2，
∴f(x)=1-

2

2x+1

．
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）由題意，當(dāng)x∈（0，1）時，mf（x）＞2^x-2恒成立，即（2^x）²-（m+1）2^x+m-2＜0對x∈（0，1）恒成立，
令t=2^x，
∵x∈（0，1），
∴t∈（1，2），
∴t²-（m+1）t+m-2＜0對于t∈（1，2）恒成立，
令g（t）=t²-（m+1）t+m-2，
則有

g(1)≤0 g(2)≤0

⇒

1-(m+1)+m-2≤0 4-2(m+1)+m-2≤0

⇒m≥0，
∴m的取值范圍是m≥0．

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的單調(diào)性在求解不等式中的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．