Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，且以點(diǎn)A，B為切點(diǎn)的切線互相平行．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)，求函數(shù)F（x）的極值；
（Ⅲ）若存在x使不等式成立，求實(shí)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出f′（x），g′（x），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到f′（0）=g′（a），解出即可；
（II）解出F′（x）=0，再判定是否符合極值的定義即可；
（III）存在x使不等式成立?故在x∈[0，+∞）上有解?令，m＜h（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)求出即可．
解答：解：（Ⅰ），（x＞0）．
函數(shù)y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，a），
函數(shù)y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（a，0），
由題意得，又∵a＞0，∴a=1；
（Ⅱ）∵，（x＞0），
∴，

解F′（x）＞0得x＞1；解F′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴函數(shù)F（x）的遞減區(qū)間是（0，1），遞增區(qū)間是（1，+∞），
所以函數(shù)F（x）極小值是F（1）=1，函數(shù)F（x）無極大值；
（Ⅲ）由得，
故在x∈[0，+∞）上有解，
令，m＜h（x）_max
當(dāng)x=0時(shí)，m＜0
當(dāng)x＞0時(shí)，，
∵x＞0，∴，
∴
故，
即在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，故m＜h（x）_max，∴m＜0，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍（-∞，0）．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法等是解題的關(guān)鍵．