Question

3．如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩名射擊運動員訓練的成績（環(huán)數(shù)），射擊次數(shù)為4次．
（1）試比較甲、乙兩名運動員射擊水平的穩(wěn)定性；
（2）每次都從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中隨機各選取一個進行比對分析，共選取了4次（有放回選取）．設選取的兩個數(shù)據(jù)中甲的數(shù)據(jù)大于乙的數(shù)據(jù)的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）分別求出甲、乙訓練的成績的平均數(shù)和方差，由此能求出結(jié)果．
（2）當乙選取5環(huán)時，一定滿足要求，當乙選取7環(huán)時，甲只能從9環(huán)、10環(huán)中選取，從而求出甲的成績大于乙的成績的概率，ξ的取值分別是0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{3}{8}$），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{4}$（6+7+9+10）=8，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{4}$（5+7+10+10）=8，
${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[（6-8）²+（7-8）²+（9-8）²+（10-8）²]=$\frac{5}{2}$，
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[（5-8）²+（7-8）²+（10-8）²+（10-8）²]=$\frac{9}{2}$，
∵$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$＜${{S}_{乙}}^{2}$，
∴甲運動員的射擊水平平穩(wěn)．
（2）當乙選取5環(huán)時，一定滿足要求，此時的概率為p₁=$\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4}$，
當乙選取7環(huán)時，甲只能從9環(huán)、10環(huán)中選取，此時的概率為${p}_{2}=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
∴甲的成績大于乙的成績的概率為p=p₁+p₂=$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$．
依題意，ξ的取值分別是0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{3}{8}$），
∴p（ξ=0）=${（{\frac{5}{8}}）^4}=\frac{625}{4096}$，
p（ξ=1）=$C_4^1\frac{3}{8}{（{\frac{5}{8}}）^3}=\frac{375}{1024}$，
$p（{ξ=2}）=C_4^2{（{\frac{3}{8}}）^2}{（{\frac{5}{8}}）^2}=\frac{675}{2048}$，
$p（{ξ=3}）=C_4^3{（{\frac{3}{8}}）^3}\frac{5}{8}=\frac{135}{1024}$，
$p（{ξ=4}）={（{\frac{3}{8}}）^4}=\frac{81}{4096}$，
因此，ξ的分布列如下：

ζ	0	1	2	3	4
P	$\frac{625}{4096}$	$\frac{375}{1024}$	$\frac{675}{2048}$	$\frac{135}{1024}$	$\frac{81}{4096}$

∴Eξ=4×$\frac{3}{8}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查平均數(shù)、方差的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．