Question

9．函數f（θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ₀處取得最小值，則點M（cosθ₀，sinθ₀）關于坐標原點對稱的點坐標是（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$）．

Answer 1

分析 由輔助角公式可得f（θ）=13sin（θ+φ），其中sinφ=$\frac{12}{13}$，cosφ=$\frac{5}{13}$，由三角函數的最值和誘導公式以及對稱性可得．

解答 解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（$\frac{12}{13}$cosθ+$\frac{5}{13}$sinθ）
=13sin（θ+φ），其中sinφ=$\frac{12}{13}$，cosφ=$\frac{5}{13}$，
∴當θ+φ=$\frac{3π}{2}$時，函數f（θ）取最小值-13，
此時θ=θ₀=$\frac{3π}{2}$-φ，故cosθ₀=cos（$\frac{3π}{2}$-φ）=-sinφ=-$\frac{12}{13}$，
sinθ₀=sin（$\frac{3π}{2}$-φ）=-cosφ=-$\frac{5}{13}$，即M（-$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），
由對稱性可得所求點的坐標為（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$），
故答案為：（$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$）．

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數，涉及輔助角公式和誘導公式，屬中檔題．