Question

（本小題滿分14分）

如圖所示，四棱錐中，底面為正方形，平面，，，，分別為、、的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）要證 ，只需證，只需證 平面； （2）。

【解析】

試題分析：（1）∵平面，平面，

∴   又為正方形，∴．又，…………3分

∴平面 ∵平面，∴． ………………………………5分

∵中，中位線，∴     ……………6分

（2）記AD中點(diǎn)為H，連結(jié)FH、HG，易知GH//DC，，    

又中EF//DC，∴EF//GH所以E、F、H、G四點(diǎn)共面……7分

∴平面EFG與平面ABCD交于GH，所求銳二面角為F-GH-D.……………8分

由（1）平面，EF//DC//GH∴平面

即平面FHD，平面FHD，

所以FH，DH，

∴二面角F-GH-D的平面角是  ……………………11分

FH是等腰直角的中位線，=  …………………………13分

∴所求銳二面角的余弦值為．………………14分

證法2：DA、DC、DP兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系…1分

則，， ，，G(1,2,0)，       ………3分

（1）， ………………4分

∵ ∴……6分

∴      ………………………………………7分

（2）∵平面，

∴是平面的一個(gè)法向量．………9分

設(shè)平面EFG的法向量為，∵

令,得是平面的一個(gè)法向量. …………11分

∵        …………………………13分

∴所求銳二面角的余弦值為．                ……………………………14分

考點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理；線面垂直的判定定理；二面角。

點(diǎn)評：二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對，出現(xiàn)的問題就是計(jì)算錯(cuò)誤。