Question

14．晚自習(xí)結(jié)束后，幾位同學(xué)在一起討論問題，小李看到小楊把三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ錯寫成了cos（α+β）=cosα-sinβ．愛思考的他給大家提出了以下幾個問題：
（1）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定成立嗎？請說明理由；
（2）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定不成立嗎？請說明理由；
（3）等式cos（α+β）=cosα-sinβ何時成立？請說明理由．
經(jīng)過一番熱烈的討論后，熄燈前幾位同學(xué)得出了一致的結(jié)論，結(jié)束了討論，現(xiàn)在，請你也來試一試吧!

Answer 1

分析 （1）由正確的三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ可得：當(dāng)cosβ≠1，或sinα≠1時，cosαcosβ-sinαsinβ≠cosα-sinβ，進而得到結(jié)論；
（2）由正確的三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ可得：當(dāng)cosβ=sinα=1時，cosαcosβ-sinαsinβ=cosα-sinβ，進而得到結(jié)論；
（3）綜合（1）（2）中的結(jié)論，可得答案．

解答 解：（1）等式cos（α+β）=cosα-sinβ不一定成立，理由如下：
∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
當(dāng)cosβ≠1，或sinα≠1時，cosαcosβ-sinαsinβ≠cosα-sinβ，
故等式cos（α+β）=cosα-sinβ不一定成立；
（2）等式cos（α+β）=cosα-sinβ不一定不成立，理由如下：
∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
當(dāng)cosβ=sinα=1時，cosαcosβ-sinαsinβ=cosα-sinβ，
故等式cos（α+β）=cosα-sinβ不一定不成立；
（3）綜合（1）（2）可得，
當(dāng)cosβ=sinα=1時，等式cos（α+β）=cosα-sinβ成立；
當(dāng)cosβ≠1，或sinα≠1時，等式cos（α+β）=cosα-sinβ不成立；

點評 本題考查的知識點是歸納推理，兩角和的余弦公式，本題中從錯誤中找到有用的規(guī)律，也是我們學(xué)習(xí)中應(yīng)具備的技能．