Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求C的參數(shù)方程；
（2）設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)方程求出C的普通方程，從而求出參數(shù)方程即可；（2）設(shè)D（1+cost，sint），結(jié)合題意得到直線GD與l的斜率相同，求出t的值，

解答 解：（1）由題意知：ρ=2cosθ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，
所以ρ²=2ρcosθ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，即x²+y²-2x=0，
可化為（x-1）²+y²=1，y∈[0，1]，
可得C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cost\\ y=sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤t≤π）．
（2）設(shè)D（1+cost，sint），
由（1）知C是以G（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓，
因為C在點D處的切線與l垂直，
所以直線GD與l的斜率相同，
∴$\frac{sint-0}{（1+cost）-1}=\sqrt{3}$，解得$tant=\sqrt{3}$，即$t=\frac{π}{3}$，
故D的直角坐標(biāo)為$（1+cos\frac{π}{3}，sin\frac{π}{3}）$，
即$（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．

點評 本題考查了參數(shù)方程、普通方程以及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查直線的斜率問題，是一道中檔題、