Question

12．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A₁-BCD，則四面體A₁-BCD的體積的最大值為$\frac{1}{6}$，此時(shí)A₁C與平面A₁BD所成的角為45°．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件證明△A₁CD為等腰直角三角形，得到∠A₁DC=45°，即可得到A₁C與平面A₁CD所成的角為45°，
再求出△A₁BD的面積，根據(jù)體積公式即可出四面體A₁-BCD的體積

解答 解：∵四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，
由BD⊥CD，平面A₁BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A₁BD，
∴CD⊥A₁B，CD⊥A₁D，
∵A₁D=CD，
∴△A₁CD為等腰直角三角形，
∴∠A₁DC=45°，
則A₁C與平面A₁BD所成的角為45°，
又由AB=AD，BD=$\sqrt{2}$，
∵四面體A₁-BCD的體積V=$\frac{1}{3}$CD•S_△A1BD=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$
故答案為：$\frac{1}{6}$，45°

點(diǎn)評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及棱柱的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握空間位置關(guān)系與距離的判定是解本題的關(guān)鍵．