Question

1．定義區(qū)間I=（α，β）的長度為β-α，已知函數(shù)f（x）=ax²+（a²+1）x，其中a＜0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}．
（Ⅰ）求區(qū)間I的長度；
（Ⅱ）設(shè)區(qū)間I的長度函數(shù)為g（a），試判斷函數(shù)g（a）在（-∞，-1]上的單調(diào)性；
（Ⅲ）在上述函數(shù)g（a）中，若a∈（-∞，-1]，問：是否存在實數(shù)k，使得g（k-sinx-3）≤g（k²-sin²x-4）對一切x∈R恒成立，若存在，求出k的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解不等式f（x）＞0，可得區(qū)間I的長度；
（Ⅱ）由（I）知$g（a）=-a-\frac{1}{a}$，a∈（-∞，-1]，根據(jù)定義法，可證得函數(shù)g（a）在（-∞，-1]上為減函數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)存在實數(shù)k，使得g（k-sinx-3）≤g（k²-sin²x-4）對一切x∈R恒成立，則$\left\{{\begin{array}{l}{k-sinx-3≤-1}\\{{k^2}-{{sin}^2}x-4≤-1}\\{k-sinx-3≤{k^2}-{{sin}^2}x-4}\end{array}}\right.$，解得答案．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）f（x）＞0，即ax²+（a²+1）x＞0
∵a＜0
∴-ax²-（a²+1）x＜0
⇒-x[ax+（a²+1）]＜0…（2分）
∴$0＜x＜-\frac{{{a^2}+1}}{a}$，即$I=（{0，-\frac{{{a^2}+1}}{a}}）$…（3分）
∴I的長度為$-\frac{{{a^2}+1}}{a}=-a-\frac{1}{a}$…（4分）
（Ⅱ）由（I）知$g（a）=-a-\frac{1}{a}$，a∈（-∞，-1]
設(shè)任意的a₁，a₂∈（-∞，-1]且a₁＜a₂，則…（5分）
g（a₁）-g（a₂）=$（{-{a_1}-\frac{1}{a_1}}）-（{-{a_2}-\frac{1}{a_2}}）$=$（{{a_2}-{a_1}}）•\frac{{{a_1}{a_2}-1}}{{{a_1}{a_2}}}$…（6分）
∵a₁＜a₂≤-1，
∴a₁a₂＞1，
∴a₁a₂-1＞0，又a₂-a₁＞0…（7分）
∴$（{{a_2}-{a_1}}）•\frac{{{a_1}{a_2}-1}}{{{a_1}{a_2}}}＞0$，即g（a₁）＞g（a₂）
∴函數(shù)g（a）在（-∞，-1]上為減函數(shù)．…（8分）
（說明：如果運(yùn)用對勾函數(shù)的知識解決問題，參照給分）
（Ⅲ）設(shè)存在實數(shù)k，使得g（k-sinx-3）≤g（k²-sin²x-4）對一切x∈R恒成立，
則$\left\{{\begin{array}{l}{k-sinx-3≤-1}\\{{k^2}-{{sin}^2}x-4≤-1}\\{k-sinx-3≤{k^2}-{{sin}^2}x-4}\end{array}}\right.$
⇒$\left\{{\begin{array}{l}{k≤sinx+2}\\{{k^2}≤{{sin}^2}x+3}\\{{k^2}-k-1≤{{sin}^2}x-sinx}\end{array}}\right.$…（10分）
$⇒\left\{{\begin{array}{l}{k≤1}\\{-\sqrt{3}≤k≤\sqrt{3}}\\{-\frac{1}{2}≤k≤\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$$⇒-\frac{1}{2}≤k≤1$…（12分）
∴存在實數(shù)$k∈[{-\frac{1}{2}，1}]$使得g（k-sinx-3）≤g（k²-sin²x-4）對一切x∈R恒成立…（13分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．