Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx，x∈（0，+∞），其導函數(shù)為f′（x），現(xiàn)有如下命題：
①對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞），使得x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
②?x₁∈（0，+∞），對?x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，使得f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁；
③當a＞3時，對?x∈（0，+∞），不等式f（a+x）＜f（a）•e^x恒成立；
④當a＞3時，對?x∈（3，+∞），且x≠a時，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）恒成立；其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①，x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）可變?yōu)?\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＞\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$；原命題等價于，在函數(shù)f（x）圖象上任一點A（x₁，f（xx₁）），都存在點B（x₂，f（x₂）），使得直線OA的斜率大于OB的斜率，結(jié)合圖象可判定．
②，f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁可變?yōu)閒（x₁）+x₁）＜f（x₂）+x₂，原命題等價于，函數(shù)g（x）=f（x）+x，對?x₂∈（0，+∞），都存在x₁∈（0，+∞）使g（x₂）＞g（x₁），根據(jù)函數(shù)g（x）有無最小值判定；
③，f（a+x）＜f（a）•e^x?（a+x）ln（a+x）＜alna）•e^x?$\frac{（a+x）ln（a+x）}{{e}^{a+x}}＜\frac{alna}{{e}^{a}}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)判定函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx}{{e}^{x}}$在區(qū)間（3，+∞）上的單調(diào)性即可
④，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）f（a）-f′（a）（x-a）=xlnx-xlna-x+a，（x＞3）利用導數(shù)判定h（x）單調(diào)性，求出最值即可判定．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），∵f′（x）=lnx+1，令lnx+1＜0得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（ 0，$\frac{1}{e}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞）．
其大致圖象如下：

對于①，x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）可變?yōu)?\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＞\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$；
原命題等價于，在函數(shù)f（x）圖象上任一點A（x₁，f（xx₁）），都存在點B（x₂，f（x₂）），使得直線OA的斜率大于OB的斜率，結(jié)合圖象可判定①正確．
對于②，f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁可變?yōu)閒（x₁）+x₁）＜f（x₂）+x₂，原命題等價于，函數(shù)g（x）=f（x）+x，對?x₂∈（0，+∞），都存在x₁∈（0，+∞）使g（x₂）＞g（x₁）；
∵g′（x）=f′（x）+1=lnx+2，顯然函數(shù)g（x）有最小值，故不存在，故②錯；
對于③，f（a+x）＜f（a）•e^x?（a+x）ln（a+x）＜alna）•e^x?$\frac{（a+x）ln（a+x）}{{e}^{a+x}}＜\frac{alna}{{e}^{a}}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx}{{e}^{x}}$，則問題就是要求g（a+x）＜g（a）恒成立．
g′（x）=$\frac{lnx-xlnx+1}{{e}^{x}}$，令h（x）=lnx+1-xlnx，則h′（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，顯然h′（x）是減函數(shù)．
當x＞1時，h′（x）＜h′（1）=0，從而函數(shù)h（x）在（1，+∞）上也是減函數(shù)．
從而當x＞3時，h（x）＜h（e）=lne+1-elne=2-e＜0，即 g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx}{{e}^{x}}$在區(qū)間（3，+∞）上是減函數(shù)．
當a＞3時，對于任意的非零正數(shù)x，a+x＞a＞3，進而有g(shù)（a+x）＜g（a）恒成立，故③正確；
對于④，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）f（a）-f′（a）（x-a）=xlnx-xlna-x+a，（x＞3）
h′（x）=lnx-lna，可知h（x）在（3，a）遞減，在（a，+∞）遞減，h（x）≥h（a）=0，∴x≠a時，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）恒成立，故④正確；
故選：C．

點評 本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力，具體涉及到用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點的情況．屬于難題