Question

8．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）
（1）求f（3）+f（-1）
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若f（a-1）＜-1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（3）+f（-1）
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若f（a-1）＜-1，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（I）∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，x≤0時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1），
∴f（3）+f（-1）=f（-3）+f（-1）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$4+log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-2-1=-3；
（II）令x＞0，則-x＜0，f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）=f（x）
∴x＞0時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x+1），}&{x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），}&{x＞0}\end{array}\right.$．
（Ⅲ）∵f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）在（-∞，0]上為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
∵f（a-1）＜-1=f（1）
∴|a-1|＞1，
∴a＞2或a＜0

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．