Question

15．已知雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線交于不同的兩點C、D，若C、D兩點在以點A（0，-1）為圓心的同一個圓上，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． $\{m|-\frac{1}{4}＜m＜0\}$
• B． {m|m＞4}
• C． {m|0＜m＜4}
• D． $\{m|-\frac{1}{4}＜m＜0或m＞4\}$

Answer 1

分析 M（x₁，y₁），N（x₂，y₃），線段MN的中點為B（（x₀，y₀），根據韋達定理和中點坐標公式，以及斜率公式即可求出

解答 解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₃），線段MN的中點為B（（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，可得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{k}^{2}-1≠0}\\{△＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}≠\frac{1}{3}}\\{{m}^{2}+1＞3{k}^{2}}\end{array}\right.$，①，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{3km}{3{k}^{2}-1}}\\{{y}_{0}=kx+m=-\frac{m}{3{k}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
根據題意可得AB⊥MN，
∴k_AB=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-0}$=$\frac{-m+3{k}^{2}-1}{-3km}$=-$\frac{1}{k}$，3k²=m+1，②，
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{4m+1＞0}\\{{m}^{2}+1＞4m+1}\\{4m+1≠1}\end{array}\right.$，解得m＞4或-$\frac{1}{4}$＜m＜0，
故選：D

點評 本題考查了雙曲線和直線的關系以及韋達定理中點坐標公式斜率公式，考查了學生的運算能力，屬于中檔題