Question

6．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax（a為常數(shù)）有兩個不同的極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）記f（x）的兩個不同的極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，若不等式f（x₁）+f（x₂）＜λ（x₁+x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）=0有兩個不同的正根，即x²-ax+a=0兩個不同的正根，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用韋達(dá)定理，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出其范圍，即可求λ的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$，（x＞0），
f（x）有2個不同的極值點(diǎn)，
即方程x²-ax+a=0有2個不相等的正根，
故$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-4a＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞4；
（2）由（1）得x₁+x₂=a，x₁x₂=a，a＞4，
∴f（x₁）+f（x₂）=alnx₁+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$-ax₁+alnx₂+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$-ax₂
=aln（x₁x₂）+$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{2}$-x₁x₂-a（x₁+x₂）=a（lna-$\frac{a}{2}$-1），
不等式f（x₁）+f（x₂）＜λ（x₁+x₂）恒成立，
即λ＞$\frac{a（lna-\frac{a}{2}-1）}{a}$=lna-$\frac{a}{2}$-1恒成立，
記h（a）=lna-$\frac{a}{2}$-1，（a＞4），
則h′（a）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$＜0，則h（a）在（4，+∞）遞減，
故h（a）＜h（4）=ln4-3，
即λ≥ln4-3．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．