Question

10．現(xiàn)有一個以O(shè)A、OB為半徑的扇形池塘，在OA、OB上分別取點C、D，作DE∥OA、CF∥OB分別交弧AB于點E、F，且BD=AC，現(xiàn)用漁網(wǎng)沿著DE、EO、OF、FC將池塘分成如圖所示的養(yǎng)殖區(qū)域．已知OA=1km，∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠EOF=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
（1）若區(qū)域Ⅱ的總面積為$\frac{1}{4}k{m^2}$，求θ的值；
（2）若養(yǎng)殖區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分別是30萬元、40萬元、20萬元，試問：當(dāng)θ為多少時，年總收入最大？

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出OD=OC，DE⊥OB，CF⊥OA，從而Rt△ODE≌Rt△OCF，進(jìn)而∠DOE=∠COF=$\frac{1}{2}（{\frac{π}{2}-θ}）$，由此得到S_{區(qū)域Ⅱ}=$\frac{1}{2}cosθ$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），從而能求出θ．
（2）由S_{區(qū)域Ⅰ}=$\frac{1}{2}θ$，求出S_{區(qū)域Ⅲ}=S_總-S_{區(qū)域Ⅰ}-S_{區(qū)域Ⅱ}=$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ-\frac{1}{2}$cosθ．記年總收入為y萬元，則y=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），y'=5（1-2sinθ），令y'=0，則θ=$\frac{π}{6}$．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時，年總收入最大．

解答 解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．
∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，DE∥OA，CF∥OB，
∴DE⊥OB，CF⊥OA．
又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．
∴∠DOE=∠COF=$\frac{1}{2}（{\frac{π}{2}-θ}）$，
又OC=OF•cos∠COF
∴S_△COF=$\frac{1}{2}$•OC•OF•sin∠COF=$\frac{1}{4}$cosθ
∴S_{區(qū)域Ⅱ}=$\frac{1}{2}cosθ$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
由$\frac{1}{2}cosθ=\frac{1}{4}$，得cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S_{區(qū)域Ⅰ}=$\frac{1}{2}θ$，∴S_{區(qū)域Ⅲ}=S_總-S_{區(qū)域Ⅰ}-S_{區(qū)域Ⅱ}=$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ-\frac{1}{2}$cosθ．
記年總收入為y萬元，
則y=30×$\frac{1}{2}θ+40×\frac{1}{2}$cosθ$+20×（{\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ}$$\left.{-\frac{1}{2}cosθ}）$=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
所以y'=5（1-2sinθ），令y'=0，則θ=$\frac{π}{6}$．
當(dāng)0＜θ＜$\frac{π}{6}$時，y'＞0；當(dāng)$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$時，y'＜0．
故當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時，y有最大值，即年總收入最大．

點評 本題考查扇形面積、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、函數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．