Question

15．已知三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)D滿(mǎn)足$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，且|$\overrightarrow{DA}$=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|．平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿(mǎn)足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則$|\overrightarrow{BM}|$的最大值是$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{DA}$=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，可得D為△ABC的外心，又$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，可得可得D為△ABC的垂心，則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形．運(yùn)用向量的數(shù)量積定義可得△ABC的邊長(zhǎng)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，求得B，C的坐標(biāo)，再設(shè)P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式可得BM的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：由|$\overrightarrow{DA}$=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，可得D為△ABC的外心，
又$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，可得
$\overrightarrow{DB}•（\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}）=0$，即$\overrightarrow{DB}⊥\overrightarrow{CA}$，
同理可得$\overrightarrow{DC}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DA}⊥\overrightarrow{BC}$，可得D為△ABC的垂心，
則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形．
由$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=-2，即有|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{DB}$|cos120°=-2，
∴$|\overrightarrow{DA}{|}^{2}×（-\frac{1}{2}）=-2$，解得|$\overrightarrow{DA}$|=2，△ABC的邊長(zhǎng)為4cos30°=2$\sqrt{3}$，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，
可得B（3，-$\sqrt{3}$），C（3，$\sqrt{3}$），D（2，0），
由|$\overrightarrow{AP}$|=1，可設(shè)P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可得M為PC的中點(diǎn)，即有M（$\frac{3+cosθ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+sinθ}{2}$），
則|$\overrightarrow{BM}$|²=（3-$\frac{3+cosθ}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}+sinθ}{2}+\sqrt{3}$）²
=$\frac{（3-cosθ）^{2}}{4}+\frac{（3\sqrt{3}+sinθ）^{2}}{4}$=$\frac{37+12sin（θ-\frac{π}{6}）}{4}$，
∴當(dāng)sin（θ-$\frac{π}{6}$）=1，即θ=$\frac{2π}{3}$時(shí)，取得最大值$\frac{49}{4}$，
∴$|\overrightarrow{BM}|$的最大值是$\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、模的計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．