Question

20．已知a＞0，函數(shù)f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，-5≤f（x）≤1．
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）且lg g（x）＞0，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求出內(nèi)層函數(shù)范圍，求解f（x）的值域，根據(jù)-5≤f（x）≤1．即可求解a，b的值；
（2）由g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）求解g（x）的解析式，lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．即可求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，
（1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1．
∴-2a≤-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）≤a．
則b≤f（x）≤3a+b．
∵-5≤f（x）≤1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=-5
得f（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$），即g（x）=-4sin[2（x$+\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{6}$]-1=-4sin（2x+$\frac{7π}{6}$）-1=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
∵lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．
可得：4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1＞1．
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$．
可得：$2kπ+\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z．
求g（x）的單調(diào)增區(qū)間．
∴$2kπ+\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得：kπ＜x≤$kπ+\frac{π}{6}$．
g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（kπ，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z．
求g（x）的單調(diào)減區(qū)間．
∴$2kπ+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$＜$2kπ+\frac{5π}{6}$，
解得：$kπ+\frac{π}{6}$≤x$＜kπ+\frac{π}{3}$
單調(diào)減區(qū)間為[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$），k∈Z．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象即性質(zhì)的運用和化簡能力，解析式的確定．著重考查了對數(shù)不等式的求法，討論三角函數(shù)的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．