Question

9．兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則由另一人投擲，先投擲人的獲勝概率是$\frac{12}{17}$（寫出計(jì)算過程）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，首先由等可能事件的概率公式計(jì)算每次拋擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率，由對(duì)立事件的概率性質(zhì)，可得點(diǎn)數(shù)和小于等于6的概率；分別求出先投擲的人第一輪獲勝、第二輪獲勝…的概率，分析可得P₁、P₂、P₃、…P_n、…，組成以$\frac{7}{12}$首項(xiàng)，（$\frac{5}{12}$）²為公比的無窮等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合極限計(jì)算方法，計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，一次投擲兩顆，每顆骰子有6種情況，共有6×6=36種情況，
而點(diǎn)數(shù)之和大于6的情況有21種，則每次拋擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$，
則拋擲每次兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和小于等于6的概率為1-$\frac{7}{12}$=$\frac{5}{12}$；
若先投擲的人第一輪獲勝，其概率為P₁=$\frac{7}{12}$，
若先投擲的人第二輪獲勝，即第一輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于6，則其概率為P₂=（$\frac{5}{12}$）²×$\frac{7}{12}$，
若先投擲的人第三輪獲勝，即前兩輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于6，則其概率為P₃=（$\frac{5}{12}$）⁴×$\frac{7}{12}$，
若先投擲的人第四輪獲勝，即前三輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于6，則其概率為P₃=（$\frac{5}{12}$）⁶×$\frac{7}{12}$，
…
分析可得，若先投擲的人第n輪獲勝，其概率為P_n=（$\frac{5}{12}$）^2n-2×$\frac{7}{12}$，
P₁、P₂、P₃、…P_n、…，組成以$\frac{7}{12}$首項(xiàng)，（$\frac{5}{12}$）²為公比的無窮等比數(shù)列，
則先投擲的人獲勝的概率由極限的性質(zhì)，可得P₁+P₂+P₃+…+P_n+…=$\frac{\frac{7}{12}}{1-（\frac{5}{12}）^{2}}$=$\frac{12}{17}$．
故答案為$\frac{12}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等可能事件的概率的計(jì)算，涉及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與極限的計(jì)算；關(guān)鍵是分類分析、計(jì)算先投擲的人獲勝的情況，進(jìn)而由等比數(shù)列前n項(xiàng)公式計(jì)算．