19.如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|.
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程
(2)求過點(diǎn)(3,0),且斜率為$\frac{4}{5}$的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.

分析 (1)由題意可知:M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(x',y'),則|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|,解得:$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=\frac{5}{4}y}\end{array}}\right.$,代入x'2+y'2=25,整理得:$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$;
(2)設(shè)直線方程為:$y=\frac{4}{5}({x-3})$,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理可知:x1+x2=3,x1•x2=-8,弦長(zhǎng)公式:丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$,即可求得直線被C所截線段的長(zhǎng)度.

解答 解:(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(x',y'),
由|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|,解得:$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=\frac{5}{4}y}\end{array}}\right.$
∵P在圓上,
∴x'2+y'2=25,即${x^2}+{({\frac{5}{4}y})^2}=25$,整理得:$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$,
即C的方程為:$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$;…(4分)
(2)過點(diǎn)(3,0),斜率為k=$\frac{4}{5}$,的直線方程為:$y=\frac{4}{5}({x-3})$,…(6分)
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線方程$y=\frac{4}{5}({x-3})$代入C的方程,得$\frac{x^2}{25}+\frac{{{{({x-3})}^2}}}{25}=1$,整理得:x2-3x-8=0…(8分)
∴由韋達(dá)定理可知:x1+x2=3,x1•x2=-8,…(10分)
∴線段AB的長(zhǎng)度為$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_2}-{x_1}|=\sqrt{1+{{(\frac{4}{5})}^2}}•\sqrt{{3^2}+32}=\sqrt{\frac{41}{25}×41}=\frac{41}{5}$,
線段AB的長(zhǎng)度丨AB丨=$\frac{41}{5}$…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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