Question

在△PMN中，|MN|=6，tan∠PMN=

1

2

，tan∠PNM=-2．建立適當坐標系，
（1）求直線MP和直線NP的方程；
（2）求以M，N為焦點且過P的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）以直線MN為x軸，MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，利用tan∠PMN=

1

2

，tan∠PNM=-2即可求得直線MP和直線NP的方程；
（2）由（1）可求得點P（5，4），
法1：求得|PM|，|PN|，利用橢圓的定義即可求其方程；
法2：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-9

=1，點P（5，4）代入即可求之．

解答：解：（1）如圖，以直線MN為x軸，MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．
設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，焦點為M（-3，0），N（3，0）
由tan∠PMN=

1

2

，tanα=tan（π-∠MNP）=2，
得直線PM：y=

1

2

（x+3）①，
直線PN：y=2（x-3）②，
（2）將①，②聯(lián)立，解得點P（5，4）．
法1：∴|PM|=4

5

，|PN|=2

5

，
又2a=|PM|+|PN|，解得a=3

5

∴b²=a²-c²=36，故所求橢圓方程為：

x2

45

+

y2

36

=1．
法2：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-9

=1，點P（5，4）代入得a=3

5

，
故所求橢圓方程為

x2

45

+

y2

36

=1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線的一般方程，考查分析與運算能力即規(guī)范的書寫表達能力，屬于中檔題．