Question

13．2016年高考報(bào)名體檢中，某市共有40000名男生參加體檢，體檢其中一項(xiàng)為測(cè)量身高，統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示所有男生的身高服從正態(tài)分布N（170，16），統(tǒng)計(jì)人員從市一中高三的參加體檢的男生中隨機(jī)抽取了50名進(jìn)行身高測(cè)量，所得數(shù)據(jù)全部介于162cm和186cm之間，并將測(cè)量數(shù)據(jù)分成6組：第一組[162，166），第二組[166，170），…，第六組[182，186），然后按上述分組方式繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）試評(píng)估市一中高三年級(jí)參加體檢的男生在全市高三年級(jí)參加體驗(yàn)的男生中的平均身高狀況（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中間值作代表）；
（2）在這50名參加體檢的男生身高在178cm以上（含178cm）的人中任意抽取3人，將該3人中身高排名（從高到低）在全市參加體檢的高三男生身高前52名的人數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：
若X～N（μ，δ²），則P（μ-δ＜X≤μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜X≤μ+2δ）=0.9544，P（μ-3δ＜X≤μ+3δ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出該校高三年級(jí)參加體檢的男生的平均身高，由此能求出結(jié)果．
（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.12，從而這50名參加體檢的男生中身高在職78cm以上（含178cm）的人數(shù)為6人，進(jìn)而得到全市參加體檢的男生身高前52名的身高在182cm以上，隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得該校高三年級(jí)參加體檢的男生的平均身高為：
（164×$\frac{5}{100}$+168×$\frac{7}{100}$+172×$\frac{8}{100}$+176×$\frac{2}{100}$+180×$\frac{2}{100}$+184×$\frac{1}{100}$）×4=170.72（cm）．
高于全市的平均值170cm．
（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為（0.02+0.01）×4=0.12，
人數(shù)為0.12×50=6，
即這50名參加體檢的男生中身高在職78cm以上（含178cm）的人數(shù)為6人，
∵P（170-3×4＜X≤170+3×4）=0.9974，
∴P（X≥182）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
0.0013×4000=52，
∴全市參加體檢的男生身高前52名的身高在182cm以上，
這50人中，182cm以上的有0.01×4×5=2人，
∴隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（X）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．