Question

13．已知向量$[\begin{array}{l}\;1\\-1\end{array}]$是矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，1）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻'（3，3），求矩陣A．

Answer 1

分析 設(shè)$A=[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}]$，根據(jù)矩陣變換，列方程組，即可求得a、b、c和d的值，求得A．

解答 解：設(shè)$A=[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}]$，
因?yàn)橄蛄?[\begin{array}{l}\;1\\-1\end{array}]$是矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量，
所以$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}]=（-1）[{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{-1}\\ 1\end{array}}]$．所以$\left\{\begin{array}{l}a-b=-1\\ c-d=1\end{array}\right.$…4分
因?yàn)辄c(diǎn)P（1，1）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻'（3，3），
所以$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]=[{\begin{array}{l}3\\ 3\end{array}}]$．所以$\left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ c+d=3\end{array}\right.$…8分
解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以$A=[{\begin{array}{l}1&2\\ 2&1\end{array}}]$．…10分．

點(diǎn)評 本題考查矩陣的變換，考查方程思想，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．