【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:只有一個零點.
【答案】解:
(1)當(dāng)a=3時,f(x)=,f ′(x)=.
令f ′(x)=0解得x=或x=.
當(dāng)x∈(–∞,)∪(,+∞)時,f ′(x)>0;
當(dāng)x∈(,)時,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(,+∞)單調(diào)遞增,在(,)單調(diào)遞減.
(2)由于,所以等價于.
設(shè)=,則g ′(x)=≥0,僅當(dāng)x=0時g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)單調(diào)遞增.故g(x)至多有一個零點,從而f(x)至多有一個零點.
又f(3a–1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一個零點.
綜上,f(x)只有一個零點.
【解析】分析:(1)將代入,求導(dǎo)得,令求得增區(qū)間,令求得減區(qū)間;(2)令,即,則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點問題,研究函數(shù)單調(diào)性可得.
詳解:(1)當(dāng)a=3時,f(x)=,f ′(x)=.
令f ′(x)=0解得x=或x=.
當(dāng)x∈(–∞,)∪(,+∞)時,f ′(x)>0;
當(dāng)x∈(,)時,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(,+∞)單調(diào)遞增,在(,)單調(diào)遞減.
(2)由于,所以等價于.
設(shè)=,則g ′(x)=≥0,僅當(dāng)x=0時g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)單調(diào)遞增.故g(x)至多有一個零點,從而f(x)至多有一個零點.
又f(3a–1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一個零點.
綜上,f(x)只有一個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:對任意的,存在唯一的,使;
(3)設(shè)(2)中所確定的關(guān)于的函數(shù)為,證明:當(dāng)時,有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線:.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與交于,兩點,,的中點為,點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電動汽車“行車數(shù)據(jù)”的兩次記錄如下表:
記錄時間 | 累計里程 (單位:公里) | 平均耗電量(單位:公里) | 剩余續(xù)航里程 (單位:公里) |
2019年1月1日 | 4000 | 0.125 | 280 |
2019年1月2日 | 4100 | 0.126 | 146 |
(注:累計里程指汽車從出廠開始累計行駛的路程,累計耗電量指汽車從出廠開始累計消耗的電量,平均耗電量=,剩余續(xù)航里程=,下面對該車在兩次記錄時間段內(nèi)行駛100公里的耗電量估計正確的是
A. 等于12.5B. 12.5到12.6之間
C. 等于12.6D. 大于12.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng),據(jù)監(jiān)測,當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市(如圖)的東偏南方向300千米的海面處,并以20千米/時的速度向西偏北45°方向移動,臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為60千米,并以10千米/時的速度不斷增大,問幾個小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲?受到臺風(fēng)的侵襲的時間有多少小時?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如表所示.
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 5 | ||
第2組 | ① | ||
第3組 | 30 | ② | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 |
(1)請先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試;
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試,求:第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點A,B以及CD的中點P處,已知AB=20km,CB=10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD內(nèi)(含邊界),且與A,B等距離的一點O處建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP,設(shè)排污管道的總長為km.
(I)設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式;
(II)確定污水處理廠的位置,使三條排污管道的總長度最短,并求出最短值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=,平面ACFE⊥平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AE=AD,點M在線段EF上。
(1)求證:BC⊥平面ACFE;
(2)若,求證:AM∥平面BDF.
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