Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁+1，a₂+1，a₃+3成等比數(shù)列．a(chǎn)_n+2log₂b_n=-1．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得d＞0，運用等差數(shù)列的通項公式，和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，解方程可得d，進而得到數(shù)列{a_n}的通項公式，再由對數(shù)的運算可得{b_n}的通項公式；
（2）求出a_n•b_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁=1，a_n+1＞a_n（n∈N^*），可得：
d＞0，a₂=1+d，a₃=1+2d，
由a₁+1，a₂+1，a₃+3成等比數(shù)列，可得：
（a₂+1）²=（a₁+1）（a₃+3），即為（d+2）²=（1+1）（4+2d），
解得d=2（-2舍去），
則a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，n∈N*，
由a_n+2log₂b_n=-1，即log₂b_n=-n，
可得b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N^*；
（2）a_n•b_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則前n項和T_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{3}{2}$-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
可得T_n=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N^*．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．