Question

11．已知命題P：至少存在一個實數x₀∈[2，4]，使不等式x²-ax+2＞0成立．若P為真，則參數 a 的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，3）
• B． $（-∞，2\sqrt{2}）$
• C． （-∞，$\frac{11}{3}$）
• D． （-∞，$\frac{9}{2}$）

Answer 1

分析 求出￢p成立時，?x∈[2，4]，都有a≥x+$\frac{2}{x}$恒成立，從而求出p為真時，a的范圍即可．

解答 解：命題P：至少存在一個實數x₀∈[2，4]，使不等式x²-ax+2＞0成立，
則￢p：?x∈[2，4]，都有x²-ax+2≤0成立，
即?x∈[2，4]，都有a≥x+$\frac{2}{x}$恒成立，
令f（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈[2，4]，
則f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$＞0，
故f（x）在[2，4]遞增，
f（x）_max=f（4）=4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故a≥$\frac{9}{2}$，
即￢p成立時，a≥$\frac{9}{2}$，
故p為真時，a＜$\frac{9}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查命題的否定，是一道中檔題．