Question

若命題p：“存在x＞1，使得x²+（m-3）x+3-m＜0”為假命題，則m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：特稱命題,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：首先把特稱命題轉(zhuǎn)化成全稱命題，進(jìn)一步利用恒成立問題，即m≥-[（x-1）+

1

x-1

]+1恒成立，只需求出m比函數(shù)-[（x-1）+

1

x-1

]+1的最大值大即可．進(jìn)一步利用不等式求出結(jié)果．

解答： 解：∵命題“存在x＞1，x²+（m-2）x+3-m＜0”為假命題，
∴命題“任意x＞1，x²+（m-2）x+3-m≥0”為真命題，
等價(jià)為（x-1）²-（x-1）+1+（x-1）m≥0，
∵x＞1，∴x-1＞0，
即m≥-[（x-1）+

1

x-1

]+1恒成立，
∵-[（x-1）+

1

x-1

]+1≤-2

(x-1)+( 1 x-1 )

=1-2=-1，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

1

x-1

時(shí)，即x=2時(shí)取等號(hào)，
∴m≥-1，
故答案為：[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：全稱命題和特稱命題的轉(zhuǎn)化，恒成立問題的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用．