分析 利用基本不等式,結(jié)合類比思想,再相加,即可求$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$+$\sqrt{2z+1}$的最大值.
解答 證明:∵$\sqrt{2x+1}•\sqrt{3}≤\frac{(2x+1)+3}{2}=x+2$,…(2分)
$\sqrt{2y+1}•\sqrt{3}≤\frac{(2y+1)+3}{2}=y+2$.…(4分)
$\sqrt{2z+1}•\sqrt{3}≤\frac{(2z+1)+3}{2}=z+2$.…(6分)
∴$\sqrt{2x+1}•\sqrt{3}+\sqrt{2y+1}•\sqrt{3}+\sqrt{2z+1}•\sqrt{3}≤(x+2)+(y+2)+(z+2)\\=x+y+z+6.\end{align}$…(8分)
因?yàn)閤+y+z=3,所以$\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1}≤\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$.…(10分)
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)在x=y=z=1時(shí)取得.
即$\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1}$得最大值為$3\sqrt{3}$.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查類比思想,同時(shí)給出一個(gè)最值的求法,比較新穎.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | 1 | D. | $\frac{1}{5}$ |
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