Question

在函數(shù)f（x）=alnx+（x+1）²（x＞0）的圖象上任取兩個(gè)不同點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），總能使得f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：不妨設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，由f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂），可得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥4，即函數(shù)f（x）=alnx+（x+1）²（x＞0）的圖象上任取兩個(gè)不同點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）連續(xù)的斜率不小于4，即導(dǎo)數(shù)值不小于4，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：不妨設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，
∵f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂），
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥4，
∵f（x）=alnx+（x+1）²，（x＞0）
∴f′（x）=

a

x

+2（x+1）
∴

a

x

+2（x+1）≥4，
∴a≥-2x²+2x
∵-2x²+2x=-2（x-

1

2

）²+

1

2

≤

1

2

∴a≥

1

2

，
故答案為：a≥

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，斜率公式，其中分析出f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂）的幾何意義，是解答的關(guān)鍵．