Question

4．已知平面內(nèi)動點P與兩定點A（-m，0），B（m，0）（m＞0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)t，動點P的軌跡加上定點A、B形成曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程，并討論曲線C的形狀與常數(shù)t的關(guān)系；
（2）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，m=2$\sqrt{2}$時，過點（-4，0）的直線與曲線C相交于E、F兩點，且線段EF的中點落在區(qū)域|x|+|y|=1內(nèi)，求直線EF的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由題意利用斜率計算公式可得：k_PA•k_PB=t，化為：tx²-y²=tm²，對t與0的大小關(guān)系分類討論即可得出．
（2）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，m=2$\sqrt{2}$時，曲線C的方程化為：$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．設(shè)過點（-4，0）的直線l的方程為：y=k（x+4），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），線段EF的中點M（x₀，y₀）．把直線l的方程代入雙曲線化為：（1-2k²）x²-16k²x-32k²-8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得線段EF的中點M（x₀，y₀）．由于中點落在區(qū)域|x|+|y|≤1內(nèi)，可得|x₀|+|y₀|≤1，通過分類討論解出即可得出．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由題意可得：k_PA•k_PB=$\frac{y}{x+m}$$•\frac{y}{x-m}$=t，
化為：tx²-y²=tm²．
當(dāng)t＞0時，化為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{t{m}^{2}}$=1，表示焦點在x軸上的雙曲線；
當(dāng)t＜0時，化為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{-t{m}^{2}}$=1，表示焦點在x軸或y軸上的橢圓．
（2）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，m=2$\sqrt{2}$時，曲線C的方程化為：$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
設(shè)過點（-4，0）的直線l的方程為：y=k（x+4），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
線段EF的中點M（x₀，y₀）．
把直線l的方程代入雙曲線化為：（1-2k²）x²-16k²x-32k²-8=0，△＞0，
即：256k⁴+4（1-2k²）（32k²+8）＞0，化為2k²+1＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-32{k}^{2}-8}{1-2{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{8{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+4）=$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$．
∵線段EF的中點落在區(qū)域|x|+|y|≤1內(nèi)，
∴$\frac{8{k}^{2}}{|1-2{k}^{2}|}$+$\frac{4|k|}{|1-2{k}^{2}|}$≤1，
①|(zhì)k|$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$時，化為：6k²+4k+1≤0，無解；
②$0＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$時，化為：10k²+4k-1≤0，解得0＜k≤$\frac{-2+\sqrt{14}}{10}$；
③-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜0時，化為：10k²-4k-1≤0，解得$\frac{2-\sqrt{14}}{10}$≤k＜0．
④k=0時也成立．
綜上可得：直線EF的斜率的取值范圍是$[\frac{2-\sqrt{14}}{10}，\frac{-2+\sqrt{14}}{10}]$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、不等式的解法、斜率計算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．