Question

3．求證：函數f（x）=x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$在區(qū)間（1，+∞）上是單調遞增函數．

Answer 1

分析 設任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，用上平方差公式，從而提取公因式，這樣便可證明f（x₁）＞f（x₂），從而得出證明的結論．

解答 證明：設x₁＞x₂＞1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}-{x}_{2}-\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）-\frac{\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}$
=$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}-\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴$\sqrt{{x}_{1}}＞\sqrt{{x}_{2}}＞1$；
∴$\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}＞0$，$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}＜1$，$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}-\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}＞0$；
∴$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}-\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調遞增函數．

點評 考查增函數的定義，以及根據增函數定義證明一個函數為增函數的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂）的大小關系，平方差公式的運用，作差后是分式的一般要通分．