Question

6．極坐標(biāo)系中，曲線ρ²=$\frac{1}{1+si{n}^{2}θ}$與直線ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0交于A、B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，0），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 求出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程，利用參數(shù)得幾何意義得出|PA|•|PB|的值．

解答 解：∵ρ²=$\frac{1}{1+si{n}^{2}θ}$，∴ρ²+ρ²sin²θ=1，即x²+2y²=1．
直線方程為y-$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，∴直線的傾斜角為60°．
∵直線過點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，0），不妨設(shè)直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
將$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入曲線方程x²+2y²=1得7t²+2t-3=0．
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=-$\frac{3}{7}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=$\frac{3}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．