Question

19．已知某種動物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為$\frac{1}{3}$．為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，做藥物試驗．試驗設(shè)計為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個用藥周期．假設(shè)每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀的出現(xiàn)與上次用藥無關(guān)．
（Ⅰ）如果出現(xiàn)A癥狀即停止試驗”，求試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率；
（Ⅱ）如果在一個用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則這個用藥周期結(jié)束后終止試驗，試驗至多持續(xù)兩個周期．設(shè)藥物試驗持續(xù)的用藥周期數(shù)為η，求η的期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)持續(xù)i天為事件A_i，i=1，2，3，4，用藥持續(xù)最多一個周期為事件B，由此利用互斥事件概率加法公式能求出試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率．
法二：設(shè)用藥持續(xù)最多一個周期為事件B，則$\overline B$為用藥超過一個周期，利用對立事件概率計算公式能求出試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量η可以取1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出η的期望．

解答 解：（Ⅰ）法一：設(shè)持續(xù)i天為事件A_i，i=1，2，3，4，用藥持續(xù)最多一個周期為事件B，…．（1分）
所以$P（{A_1}）=\frac{1}{3}，P（{A_2}）=\frac{1}{3}•\frac{2}{3}，P（{A_3}）=\frac{1}{3}•{（\frac{2}{3}）^2}，P（{A_4}）=\frac{1}{3}•{（\frac{2}{3}）^3}$，…．（5分）
則$P（B）=P（{A_1}）+P（{A_2}）+P（{A_3}）+P（{A_4}）=\frac{65}{81}$．…．（6分）
法二：設(shè)用藥持續(xù)最多一個周期為事件B，則$\overline B$為用藥超過一個周期，…．（1分）
所以$P（\overline B）={（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，…．（3分）
所以$P（B）=1-{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{65}{81}$．…．（6分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量η可以取1，2，…．（7分）
所以$P（η=1）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}\frac{2}{3}+{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{1}{9}$，
$P（η=2）=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$，….11分
所以$Eη=1•\frac{1}{9}+2•\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$．…．（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．