Question

畫出函數(shù)y=-（x-3）|x|的圖象，
（1）并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)．
（2）若方程-（x-3）|x|=m與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分兩種情況去掉絕對(duì)值：
當(dāng)x≥0時(shí)，y=-x（x-3）；當(dāng)x＜0時(shí)，y=x（x-3），這兩者都是拋物線的方程，畫出拋物線后根據(jù)x的限制取舍相應(yīng)的部分；
（2）構(gòu)造函數(shù)y=m與函數(shù)y=-（x-3）|x|，使函數(shù)y=m與函數(shù)y=-（x-3）|x|有三個(gè)交點(diǎn)，求出m的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，y=-x（x-3）；當(dāng)x＜0時(shí)，y=x（x-3），這兩個(gè)函數(shù)均為二次函數(shù)，
對(duì)稱軸方程均為x=

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，圖象如下圖：

由圖象可知，（-∞，0）為減區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間遞減；
（0，

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）為增區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間遞增；
（

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，+∞）為減區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間遞減；
（2）方程-（x-3）|x|=m與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，
函數(shù)y=m與函數(shù)y=-（x-3）|x|有三個(gè)交點(diǎn)，
從圖象上可以看出m∈（0，

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）

點(diǎn)評(píng)：帶有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)表達(dá)式，要分情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，另外，方程的根的問題可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．