Question

10．設點M（x₀，1），已知圓心C（2，0），半徑為1的圓上存在點N，使得∠CMN=45°，則x₀的最大值為3．

Answer 1

分析 作出對應的同學根據條件∠CMN=45°，則必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函數容易求出x₀的范圍．

解答 解：易知M（x₀，1）在直線y=1上，
設圓C的方程為（x-2）²+y²=1與直線y=1的交點為T，
假設存在點N，使得∠CMN=45°，則必有∠CMN≤∠CMT，
所以要是圓上存在點N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°
因為T（2，1），
所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT=$\frac{CT}{MT}$=$\frac{1}{|{x}_{0}-2|}$≥tan45°=1，
即|x₀-2|≤1，
則-1≤x₀-2≤1，
即1≤x₀≤3
故x₀∈[1，3]．
則x₀的最大值為3，
故答案為：3．

點評 此題重點考查了利用數形結合的思想方法解題，關鍵是弄清楚M點所在的位置，能夠找到∠CMN與∠CMT的大小關系，從而構造出關于x₀的不等式．