Question

（1）已知a，b均為實(shí)數(shù)，用比較證明：

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）；
（2）已知x＞0，y＞0，x+y=1，利用（1）的結(jié)論用綜合法證明：

x+ 1 2

+

y+ 1 2

≤2．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式

分析：（1）作差法，比較即可，
（2）令a=

x+ 1 2

，b=

y+ 1 2

，得到

a2+b2

2

=1，再利用（1）的結(jié)論即可證明

解答： 證明：（1）

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=

a2+b2

2

-

a2+2ab+b2

4

=

a2-2ab+b2

4

=(

a-b

2

)2≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，
所以：

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）；

（2）令a=

x+ 1 2

，b=

y+ 1 2

，
則有

a2+b2

2

=

x+y+1

2

=1，
(

a+b

2

)2=(

x+ 1 2 + y+ 1 2

2

)2，
∵

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²，
∴=(

x+ 1 2 + y+ 1 2

2

)2≤1，
∴

x+ 1 2

+

y+ 1 2

≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)

x+ 1 2

=

y+ 1 2

，即x=y=

1

2

時(shí)等號(hào)成立

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的證明及運(yùn)用，注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．