Question

三棱錐A-BCD中，面ACD與面BCD均為正三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為BD，BC，AC，AD中點(diǎn)
（1）證明：四邊形EFGH為矩形；
（2）若二面角A-DC-B大小為60°，求直線EH與面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得EFGH是平行四邊形，取CD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，BO，則CD⊥AB，EH⊥EF，由此能證明四邊形EFGH為矩形．
（2）由已知得∠AOB=60°，EH與平面BCD所成角為AB與面BCD所成角，由此能求出EH與面BCD所成角的正弦．

解答： （1）證明：∵三棱錐A-BCD中，面ACD與面BCD均為正三角形，
點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為BD，BC，AC，AD中點(diǎn)，
∴EF∥DC∥HG，且EF=

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DC=HG，
∴EFGH是平行四邊形，
取CD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，BO，
∴DC⊥平面AOB，∴CD⊥AB，EH⊥EF，
∴四邊形EFGH為矩形．
（2）解：由（1）知∠AOB為二面角A-DC-B的平面角，∴∠AOB=60°，
∵AB∥EH，∴EH與平面BCD所成角為AB與面BCD所成角，
∵DC⊥平面AOB．∴AB在面BCD射影為BO，
∵AO=BO，∴∠ABO=60°，
∴EH與面BCD所成角的正弦為sin60°=

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2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四邊形為矩形的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．