Question

（2012•漳州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=3∠BAC=90°，BF⊥AC垂足是F，AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=4CD=4，AE=3．
（Ⅰ）求證：BE⊥DF；
（Ⅱ）求二面角B-DE-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)條件得到平面AEC⊥平面ABC；進(jìn)而得到BF⊥平面AEC，即可得到BF⊥DF；進(jìn)而根據(jù)條件得到DF⊥平面BEF即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，最后代入夾角計(jì)算公式即可求出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AE⊥平面ABC，AE?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面ABC，平面AEC∩平面ABC=AC，
BF?平面ABC，BF⊥AC，∴BF⊥平面AEC，DF?平面AEC，
∴BF⊥DF，
又∠ABC=3∠BAC=90°，∴BC=ACsin30°=4×

1

2

=2，BF⊥AC，
∴CF=BCcos60°=1=CD，CD∥AE，AE⊥平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠DFC=45°，
AF=AC-CF=3=AE，∴∠EFA=45°，
∴∠EFD=90°，即DF⊥EF，
BF∩EF=F，BF、EF?平面BEF，∴DF⊥平面BEF，
∴DF⊥BE．
（Ⅱ）過F作Fz∥AE，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC，
又BF⊥AC，∴BF、AC、l兩兩垂直，
以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A、FB、Fz依次為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則F（0，0，0），B(0 ， 

3

 ， 0)，D（-1，0，1），E（3，0，3），

BD

=(-1 ， -

3

 ， 1)，

BE

=(3 ， -

3

 ， 3)，

FB

=(0 ， 

3

 ， 0)，
由（Ⅰ）知

FB

是平面DEF的一個(gè)法向量，設(shè)

n

=(x ，y ，z)是平面BDE的一個(gè)法向量，
則

n  • BD =-x- 3 y+z=0 n  • BE =3x- 3 y+3z=0

取z=2，得到

n

=(-1 ， 

3

 ， 2)，
cos＜

n

， 

FB

＞=

n  • FB

| n  |•| FB |

=

3

2 2 • 3

=

6

4

，
∴二面角B-DE-F的平面角的余弦值為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察線線垂直的證明以及二面角的求法．一般在證明線線垂直時(shí)，是轉(zhuǎn)化為線面垂直來證．