Question

13．對于向量的集合A叫A={$\overrightarrow{v}$=（x，y）|x²+y²≤1}中的任意兩個向量$\overrightarrow{{v}_{1}}$、$\overrightarrow{{v}_{2}}$與兩個非負實數(shù)α、β；求證：向量α$\overrightarrow{{v}_{1}}$+β$\overrightarrow{{v}_{2}}$的大小不超過α+β．

Answer 1

分析 首先設$\overrightarrow{{v}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{v}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，得到$α\overrightarrow{{v}_{1}}+β\overrightarrow{{v}_{2}}$的坐標，然后求模，利用重要不等式求最值．

解答 證明：設$\overrightarrow{{v}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{v}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，則$α\overrightarrow{{v}_{1}}+β\overrightarrow{{v}_{2}}$=（αx₁+βx₂，αy₁+βy₂），并且x₁²+y₁²≤1，x₂²+y₂²≤1，
所以|α$\overrightarrow{{v}_{1}}$+β$\overrightarrow{{v}_{2}}$|=$\sqrt{（α{x}_{1}+β{y}_{1}）^{2}+（α{x}_{2}+β{y}_{2}）^{2}}$$≤\sqrt{{α}^{2}+{β}^{2}+2αβ}$=|α+β|=α+β，
所以向量α$\overrightarrow{{v}_{1}}$+β$\overrightarrow{{v}_{2}}$的大小不超過α+β．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算以及向量的模的坐標表示運用和重要不等式的運用；屬于中檔題．