Question

6．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m∈[0，1]，mx²-2x-m≥2，則x的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 不等式mx²-2x-m≥2化為mx²-2x-m-2≥0，設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-2x-m-2，對(duì)于m∈[0，1]時(shí)f（x）≥0恒成立，
轉(zhuǎn)化為g（m）=（x²-1）m-2x-2在區(qū)間[0，1]上的最小值大于或等于0；
討論一次項(xiàng)系數(shù)x²-1的取值，求出g（m）的最小值，列出不等式即可求出x的取值范圍．

解答 解：不等式mx²-2x-m≥2可化為mx²-2x-m-2≥0，
函數(shù)f（x）=mx²-2x-m-2，
則f（x）=（x²-1）m-2x-2對(duì)于m∈[0，1]時(shí)，f（x）≥0恒成立，
即不等式（x²-1）m-2x-2≥0恒成立；
令g（m）=（x²-1）m-2x-2，
則函數(shù)g（m）在區(qū)間[0，1]上的最小值大于或等于0；
因?yàn)楹瘮?shù)g（m）的一次項(xiàng)系數(shù)為x²-1，
當(dāng)x²-1=0時(shí)，x=±1，且x=1時(shí)，g（m）=-4不合題意；
x=-1時(shí)，g（m）=0滿足題意；
當(dāng)x²-1＞0時(shí)，有x＞1或x＜-1，
函數(shù)g（m）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
g（m）的最小值是g（0）=-2x-2≥0，解得x≤-1，應(yīng)取x＜-1；
當(dāng)x²-1＜0時(shí)，有-1＜x＜1，函數(shù)g（m）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
g（m）的最小值是g（1）=x²-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3，此時(shí)x不存在；
綜上，x的取值范圍是x≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，解題時(shí)把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．