Question

11．已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c
（Ⅰ）證明：若A、B、C成等差數(shù)列，則B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）證明：若a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，則B＜$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和，即可證明；
（Ⅱ）利用反證法進(jìn)行專(zhuān)門(mén)．

解答 證明：（Ⅰ）由A、B、C成等差數(shù)列，得2B=A+C  
又A+B+C=π 
所以3B=π，B=$\frac{π}{3}$，…2分
（Ⅱ）因?yàn)閍、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列
所以有 $\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$．…4分
假設(shè)B＜$\frac{π}{2}$不成立，即B≥$\frac{π}{2}$，則B是△ABC的最大內(nèi)角，
所以b＞a，b＞c
所以有$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}＞\frac{1}+\frac{1}$=$\frac{2}$．…6分
這與$\frac{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$矛盾，所以假設(shè)不成立．
因此B$＜\frac{π}{2}$                    …..…8分

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法的運(yùn)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．